Домашние задания по геометрии (11 класс 2004 год)
Домашние задание №1
1. Двугранный угол при основании правильной четырёхугольной пирамиды равен альфа. Найти двугранный угол между соседними боковыми гранями этой пирамиды.
2. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен углу между боковым ребром и плоскостью основания. Найти двугранный угол между соседними боковыми гранями этой пирамиды.
3. Найти синус угла между высотами, опущенными из двух вершин правильного тетраэдра на противоположные грани.
4. В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани этой пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему под углом 45°. Среднее по величине боковое ребро равно l. Найти длины остальных ребер пирамиды.
5. Все ребра прямой призмы ABCA1B1C1 имеют равные длины. Найти угол и расстояние между BC1 и AC.
Домашние задание №2
1. В тетраэдре ABCD угол BAC прямой, а грани ABC и DBC перпендикулярны. Кроме того, AB=1, AC=2, BD=DC=2. Найти угол и расстояние между ребрами AC и BD.
2. Найти угол между двумя скрещивающимеся медианами двух боковых граней правильного тетраэдра с ребром a. Рассмотреть 2 случая.
3. Одна грань куба лежит в плоскости основания правильной треугольной пирамиды, на одной из боковых граней пирамиды лежат две вершины куба, а на двух других по одной. Найти ребро куба, если сторона основания пирамиды равна a, а высота пирамиды равна h
4. Дана прямая призма ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1. Найти:
а) угол между плоскостями A1B1C и AB1C
б) угол между прямой B1A и плоскостью A1B1C
Домашние задание №3
1. В треугольной пирамиде ABCD имеем DA=BC=2, DB=AC=3, AB=4, а двугранный угол при ребре AB равен 60º. Найти длину ребра DC.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 имеем AA1=AB=1, AD=2. Найти:
а) угол между плоскостями AB1D1 и AA1C1
б) угол между прямой A1C1 и плоскостью AB1D1
3. В основании пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной a и углом BAC=60º. Известно, что SA перпендикулярно ABCD и SA=2a. Найти:
а) угол между плоскостями SAD и SDC
б) угол между прямой AS и плоскостью SDC
4. Докажите, что сумма плоских углов трехгранного угла меньше 2(пи), а сумма его двугранных углов болше (пи).
5. Докажите, что сумма плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла.
6. Докажите, что если все плоские углы трехгранного угла тупые, то и все двугранные углы тоже тупые.
7. Докажите, что если все двугранные углы трехгранного угла острые, то и все плоские углы тоже острые.
Домашние задание №4
1. В треугольной пирамиде все ребра и две стороны основания равны b. Угол между равными сторонами равен a. Найти объем пирамиды.
2. В треугольной пирамиде ABCD имеем AB=2, AC=3, AD=4, уголы BAC, CAD и BAD равны 60º . Найти объем пирамиды.
3. В треугольном параллелепипиде диагональ, равная d, образует с двумя боковыми гранями угол бэтта и гамма. Найти объем параллелепипида.
4. В треугольной пирамиде SABC грань SBC перпендикулярна грани ABC, все плоские углы при вершине S равны пи/3, SB=SC=1. Найти объем пирамиды.
5. В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от середины высоты, опущенной на основание, до бокового ребра и до боковой грани соответственно равны h и b. Найти объем пирамиды.
6. В правильной треугольной пирамиде ABCA1B1C1сторона большего основания ABC равна b. Расстояние от точки А до плоскости треугольника A1BC1равно m, а расстояние от точки B1 до той же плоскости равно n. Найти высоту этой усеченной пирамиды.