Домашние задания по алгебре (11 класс 2004 год)
Домашние задание №1
1. Пусть f(x)=x2-3x, x э R
а) f -1({-2})=?
б) f -1([0;4])=?
в) f -1((-~;6))=?
г) f -1((-~;+~))=?
2. Сколько существует различных функций, у которых D(f)={1;2;3}
а) E(f) принадлежит {1}
б) E(f) принадлежит {1;2}
в) E(f) принадлежит {1;2;3}
г) E(f) принадлежит {1;2;3;4}
3. Привести пример функции f (числовой) у которой
а) D(f) = [0;1], E(f)=N
б) D(f) = [0;1], E(f)=[0;1] пересеченное с Q
в) D(f) = (0;1), E(f)=[0;1] пересеченное с Q
4. Привести пример функции вида f(x)=x3+ax2+bx+c, где х э R, такой что по крайней мере для двух значений у э R f -1(y) состоит из трёх элементов.
5. Доказать, что для функции из задачи 4 ни для каких у э R f -1(y) не может состоять из четырех элементов.
6. Пусть f : D(f) э R ->R и A является подмножеством D(f). Как соотносятся множества A и f -1(f(A))?
Домашние задание №2
1. Пусть f : R -> R, g : R -> R.
a) Доказать, что если g - периодическая функция, то и f(g(x)) - периодическая функция.
б) Привести пример такой периодической функции f такой что f(g(x)) - непериодическая функция.
в) Доказать, что если f,g - четные ф-ии, то f(g(x)) - четная.
2. Исследовать функцию на обратимость и найти обратную:
a) f(x)=|x|, x э (-~;+~)
б) f(x)=|x|, x э [0;+~)
в) f(x)=|x|, x э (-~;0]
3. Доказать, что при a > 0 функция f(x) = ax2+bx+c, x э Rимеет на множестве R наименьшее значение, которое она принимает в точке x=-b/2a
4. Существует ли четные функции f : R -> R, которые:
a) строго возрастают на R
б) возрастают на R
Домашние задание №3
1. Исследовать характер преобразования графика изменения свойств функции при следующих преобразованиях:
a) f(x) -> g(x)= f(ax), a>0
б) f(x) -> g(x)= f(-x)
в) f(x) -> g(x)= f(|x|)
г) f(x) -> g(x)= |f(x)|
2. Исследовать свойства и построение графика функции f(x)=1/xn, n э N
3. Исследовать свойства и построение графика функции f(x)= (8-x)1/3
Домашние задание №4
1. Построить график функции:
a) f(x) =(3х-1)/(х+2)
б) f(x) = (x+4)/(5-2x)
в) f(x) = 2sin(3x-(пи)/4)
г) f(x) = 0.5cos((пи)/3 - x/2)